Con Nitropdf no tendras problemas para eso incluso trae muchas otras sorprendentes aplicaciones como convertir cualquier formato ya sea de word o power point a pdf sin complicaciones te lo recomiendo úsalo y verás.

Nitro pdf reader es gratuito y permite escribir textos simples e incluso insertar una firma

yo uso PDF-XChange Viewer y me va muy bien además es gratuito

Claro que existen editores gratuitos. Yo uso uno muy simple: PDFEdit995.

Si es posible, tienes 2 opciones:
1.-Comprar la version completa de Adobe Reader ó
2.-Utilizar un editor de documentos pdf disponibles en la red. Por ejemplo: Free PDF Editor que es gratuito ó PDF Editor y PDFill PDF Editor que son de paga con version de prueba

Sin embargo el documento pdf a editar puede estar "PROTEGIDO", para ello puedes usar: Freeware PDF Unlocker.

Todos los programas mencionados anteriormente los encuentras aqui en softonic.

Si lo que quieres es modificar un pdf necesitaras, como ya te han contestado, un editor de pdf la mayoría de pago.
Si lo que necesitas es rellenar un fomulario o hacer algunas anotaciones basicas sobre un documento ya creado puedes hacerlo con varios programas. Yo utilizo pdf-xchange viewer, que ademas te permite guardar lo que has rellenado: http://pdf-xchange-viewer.softonic.com/

Si, si es posible, aunque ningun editor PDF es gratis. Existen muchos, pero los que destacan son Adobe Acrobat (el más caro y mejor) Foxit Phantom, Nitro PDF Professional, y un puñado de programas no tan conocidos.

Si, se puede escribir. Para esto necesitas el Adobe Acrobat X Pro (o sea, no la version reader, sino la version pro). Saludos.

Dependiendo de lo que quieras corregir en el pdf hay una solución fácil si tienes y manejas algo el photoshop. Lo abres en este programa, corriges lo que quieras y del resultado vuelves a hacer un pdf. Ya lo he hecho varias veces. Saludos.